数学（理科）试题第页黄冈中学2013届高二下期末数学试题（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．或【解析】由，故选A．2．设集合A={}，集合B={}，则()A．B．C．D．【解析】A==，B=，故选B．3．，则()A．B．C．D．【解析】，，故选．4．对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【解析】若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，故选B．5．如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为()A．B．C．D．【解析】以O为原点建系，抛物线方程为，，故选C．6．如图，为的直径，弦，交于点，若，则()A．B．C．D．【解析】连结，则，又，从而，所以，故选D．7．若直线和函数的图像恒过同一个定点，则的最小值为（）A．10B．8C．4D．2【解析】过定点又点在直线上，（当时取等）,故选C．8．函数在定义域R内可导，若，且当时，设则的大小顺序为（）A．B．C．D．【解析】由题意知函数关于对称，，单调递增，，,故选C．9．定义域为R的偶函数满足对R，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由恒成立可知图像以为对称轴，周期，作出的图像，的图像与的图像至少有三个交点，即有且，解得，故选B．10．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．的导函数的图象如图所示．下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点．其中真命题的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】画出原函数的大致图象，得：①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈[-1，t]时，的最大值是2；④为假命题，可能有有2个或3个或4个零点．故选D．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知命题“R”是假命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】“R，”的否定“R，”为真命题，，解得．12．若直线与曲线（为参数）没有公共点，则实数的取值范围是____________．【答案】或【解析】曲线的普通方程是，圆心到直线的距离，令，得或．13．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是．【答案】【解析】由，①得，②即①②得，，∴，∴故所求的切线为．14．设，若，则的最大值为．【答案】【解析】由柯西不等式，，知．15．已知，若(a，t,n为正实数,），通过归纳推理，可推测a，t的值，则．（结果用n表示）【答案】【解析】通过归纳推理，．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知命题：函数的定义域为R，命题:函数在上是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【解答】命题：或，；命题：，；由题意知命题有且只有一个是真命题，当为真，为假时，，当为假，为真时，，综上可得，．17．（本小题满分12分）已知函数的图象关于原点对称，且（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）如果对R，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】（I）函数的图象关于原点对称，故(II)由可得：，令，当1时，；当时，，因此，实数的取值范围为．18．（本小题满分12分）已知在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围．【解答】（Ⅰ），当时，取得极值，，解得，检验符合题意．（Ⅱ）令则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，要使在区间上恰有两个不同的实数根，只需19．（本小题满分12分）一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元．（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解答】（Ⅰ）设需要新建个桥墩，，所以（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，，令，得