矩阵练习题参考答案（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第四章矩阵练习题参考答案1.解:(1)∴(2)2．解：(1).(2).(3)所以(4)∵∴(5)(6)原式=(7)∴(8)所以3．(1)(2)∴4.解：(1)设由∴任取。(2)∵∴令∴(3)同样设5.解：设左边位于i行j列的元为，右边位于i行j列的元素.当ij时，得，.只能是对角矩阵.6.解：设（），，且∴∴为与A同型的准对角形矩阵.7.解：(1)设,∴A的第一列A的第二行(2)∴A的第i列：,且,(k≠i)A的第j行，且,(s≠j)(3)由于A与所有n级矩阵可换，故的第一行只留下a11可非0.的第二行只留下a22=a11其余全为0.的第三行只留下a33=a11,其余全为0.的第n行只留下ann=a11.其余全为0.所以8.证明：9．证明：..10．证明：若A为实对称矩阵，若A2=0,则A=0.若为，矛盾，。11．证明：。12．证明：设A=B+C，∴∴13．令∴，∴.14.设A是nn矩阵,证明存在一个nn非零矩阵B使得AB=0的充要条件是|A|=0.证明：∴.∵∴15．设A是nn矩阵,如果对于任意的n维向量x,均有Ax=0,证明A=0.证明：考虑AE.∵E的每一列去乘A的各行为0,∴AE=0.又AE=A,∴A=0.16.设B是一个rr矩阵,C为一个rn矩阵,且R(C)=r,证明:(1)如果BC=0，则B=0。(2)如果BC=C,则B=E.证明：(1)考虑齐线方程组,CTx=0,有r个未知量,而R(C)=R(CT)=r=未知量个数,所以Cx=0只有零解.BC=0,CTBT=0,所以BT的各列元素均为零,得BT=0,B=0.(2)若BC=C,则(B-E)C=0,由(1)得B-E=0，B=E.17.证明：R(A+B)R(A)+R(B).证明：设（I）,B的行向量为（Ⅱ），而（Ⅲ），那么.∴设为（Ⅰ）的极大无关组，那么R(A)=R(I)=r.设（Ⅱ´）为（Ⅱ）的极大无关组，那么R(B)=R(II)=p.令{}为向量组(IV),由于(III)可由(I)和(II)线性表出，所以(III)可由(Ⅳ)线性表出，又(IV)只含有r+p个向量，所以R(IV)r+p,得R(A+B)=R(C)=R(III)R(Ⅳ)r+p=R(A)+R(B).18.设A,B为nn矩阵，证明：如果AB=0,则R(A)+R(B)n.证明：设R(A)=r,那么，线性方程组AX=0的基础解系可设为.设B的各列为1,2,…,m.∵AB=0.说明B的每列j乘以A的每行都为0，Aj=0,即Bj是AX=0的解,所以1,2,…,m.可由线性表示，于是R(1,2,…,m.)R()=n-r,R(A)+R(B)r+n-r=n.19.证明：如果Ak=0,那么,证明：由Ak=0,得,从而.20.解(1)∴(2)∴而∴(3)∴∴(4)A=a1-1=∴A-1=(5)法1：∴法2：∴(6)A=……→a+=(7),(8),(9)∴A-1=(10)求A-1，A=.解法1：令A=2E+B,由于B4=0,所以(E-A)4=0，再令C=E-A=B，则C4=0.由19题的结论，(E-C)-1=(A)-1=2A-1=E+C+C2+C3=E+B+(B)2+(B)3A-1=E++BB2+B3=.解法2:A==，，，，A-1=.21.设解：由于，所以.22.设，求X-1.解：将X分块为，由21题，（见上面）23.求矩阵X.解：(1)∵∴(2)(A,B)=∴.(3)由AX=B，且A可逆得X=A-1B，故所以(4),∴24.①∵∴∴若若②若∴∴于是A不可逆。P202.T25①若A,B上三角形，则∴时，∴C=AB为上三角,∴∴C=AB为下三角②∴∴上三角，故A-1上三角∵当A为下三角时，AT上三角∴（AT）-1为上三角，即（A-1）T为上三角，故A-1为下三角。P202.T26∵∴若∴若∴秩∴总之，各种情形均有P202.T27证明：如果A是nn矩阵(n2)，那么证明：(1)若R(A)=n,则|A|0,由AA*=|A|E,可知A*可逆.(2)若R(A)=n-1，则Ax=0的解空间是一维的.又AA*=0,所以A*的列向量都是Ax=0的解.于是得R(A*)1.再由于R(A)=n-1,所以A至少有一个n-1阶子式非零，即R(A*)1,得R(A*)=1