PAGEPAGE5课时提升练(二十一)正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(7,2)【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(b,a).∵3a＝2b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(3,2).∴eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2).∴eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))2－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－1＝eq\f(9,2)－1＝eq\f(7,2).【答案】D2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)【解析】∵sinA，sinB，sinC成等比数列，∴sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).【答案】B3．在△ABC中，内角A，B的对边分别是a，b，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解析】法一：∵eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：∵eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(\f(b2＋c2－a2,2bc),\f(a2＋c2－b2,2ac))＝eq\f(b,a)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－a4＝b2c2－b4.即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2.即△ABC为等腰三角形或直角三角形．【答案】C4．(2014·课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC＝()A．5B.eq\r(5)C．2D．1【解析】∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).当B＝eq\f(3π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝eq\f(π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝eq\r(5).【答案】B5．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则cosA≥eq\f(1,2).由于0＜A＜π，所以0＜A≤eq\f(π,3).【答案】C6．(2013·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，