PAGEPAGE22013年高考数学总复习第五章第5课时数列的综合运用随堂检测（含解析）新人教版1．(2011·高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”成绩：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，上面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升．解析：设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).答案：eq\f(67,66)2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，数列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝an·bn，求cn的最大值．解：(1)∵an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2))，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1,4n－5，n≥2))，即an＝4n－5(n∈N*)．故b1＝1，b1q2(a2－a1)＝b1，∴q2＝eq\f(1,4)，∵bn>0，∴q＝eq\f(1,2)，∴bn＝(eq\f(1,2))n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，cn＝(4n－5)(eq\f(1,2))n－1，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cn≥cn－1,cn≥cn＋1))可得eq\f(9,4)≤n≤eq\f(13,4)，又n∈N*，故n＝3.即c3最大，故cn的最大值为eq\f(7,4).3．已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,3x)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(eq\f(1,an))，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.解：(1)∵an＋1＝f(eq\f(1,an))＝eq\f(\f(2,an)＋3,\f(3,an))＝eq\f(2＋3an,3)＝an＋eq\f(2,3)，∴{an}是以eq\f(2,3)为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝eq\f(2,3)n＋eq\f(1,3).(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－eq\f(4,3)(a2＋a4＋…＋a2n)＝－eq\f(4,3)·eq\f(n\f(5,3)＋\f(4n,3)＋\f(1,3),2)＝－eq\f(4,9)(2n2＋3n)．