不等式选讲练习21．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．解析：由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(eq\r(am)·eq\r(an)＋eq\r(bm)eq\r(bn))2＝mn(a＋b)2＝2.答案：22．[2014·陕西]设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则eq\r(m2＋n2)的最小值为__________．解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴eq\r(m2＋n2)≥eq\r(5)，∴所求最小值为eq\r(5).答案：eq\r(5)3．设正数x，y，z满足2x＋2y＋z＝1.(1)求3xy＋yz＋zx的最大值；(2)证明：eq\f(3,1＋xy)＋eq\f(1,1＋yz)＋eq\f(1,1＋zx)≥eq\f(125,26).解析：(1)3xy＋yz＋zx＝3xy＋(x＋y)z＝3xy＋(x＋y)·[1－2(x＋y)]＝3xy＋(x＋y)－2(x＋y)2≤eq\f(3,4)(x＋y)2＋(x＋y)－2(x＋y)2＝－eq\f(5,4)(x＋y)2＋(x＋y)＝－eq\f(5,4)[(x＋y)－eq\f(2,5)]2＋eq\f(1,5)≤eq\f(1,5).当且仅当x＝y＝z＝eq\f(1,5)时等号成立，3xy＋yz＋zx取得最大值eq\f(1,5).(2)证明：由柯西不等式和(1)得，eq\f(3,1＋xy)＋eq\f(1,1＋yz)＋eq\f(1,1＋zx)≥eq\f(25,31＋xy＋1＋yz＋1＋zx)≥eq\f(25,5＋\f(1,5))＝eq\f(125,26).4．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，由条件x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝eq\f(1,xy)，logba＝eq\f(1,x)，logcb＝eq\f(1,y)，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，由题意知x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.