(每日一练)通用版2023高中数学三角恒等变换知识汇总笔记单选题1、sin20°cos10°−cos160°sin10°=（）3311A．−√B．√C．−D．2222答案：D解析：利用诱导公式以及两角和的正弦公式进行化简求值.1原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=，2故选：D.2、以正方形的边长为底，向外作4个等腰三角形，腰长为2，则该图的面积最大为（）A．4√3+4B．8+4√3C．8+8√2D．8+8√3答案：C解析：휋设题设中的等腰三角形底角为휃(0<휃<)，利用휃的正、余弦表示出图形的面积，再借助三角变换即可计算得2解.如图，퐴퐵퐶퐷是正方形，△퐴퐵퐸,△퐵퐶퐹,△퐶퐷퐺,△퐷퐴퐻是等腰三角形，它们的底边为正方形相应的边，腰长均为2，1휋设等腰△퐴퐵퐸的底角∠퐴퐵퐸=휃，0<휃<，则有等腰△퐴퐵퐸底边上的高为2sin휃，底边퐴퐵=4cos휃，21于是得图形面积푆=퐴퐵2+4푆=16cos2휃+4⋅⋅4cos휃⋅2sin휃=8+8sin2휃+8cos2휃=8+8√2sin(2휃+△퐴퐵퐸2휋)，4휋휋휋5휋휋휋휋휋因0<휃<，即<2휃+<，则当2휃+=，即휃=时，sin(2휃+)取最大值1，푆=8+8√2，24444284max所以该图的面积最大为8+8√2.故选：C2π3、函数푓(푥)=√3cos푥−sin푥在区间[0,]上的值域为（）3√3√3√3A．[−,]B．[−√3,√3]C．[−,1]D．[−1,2]222答案：B解析：휋2π先将函数转化为푓(푥)=2cos(푥+)，再根据푥∈[0,]，利用余弦函数的性质求解.63휋函数푓(푥)=√3cos푥−sin푥=2cos(푥+)62π因为푥∈[0,]，3휋휋5휋所以푥+∈[,]，666휋√3√3cos(푥+)∈[−,]，3222所以函数푓(푥)的值域为[−√3,√3]，故选：B解答题4、已知푓(푥)=√3sin푥⋅cos푥−sin2푥.（1）求函数푦=푓( 푥 )的单调递增区间；휋（2）求函数푓( 푥 )在区间[ 0 ，  ]上的最大值和最小值.2휋휋1答案：（1）单调递增区间为[ 푘휋− ， 푘휋+ ] ， 푘∈푍；（2）푓( 푥 )的最大值为，푓( 푥 )的最小值为−1.632解析：（1）运用三角恒等变换化简函数푓( 푥 )，再由正弦函数的单调性可求得答案；휋1（2）由（1）得푓( 푥 )=sin( 2푥− )−，再根据正弦函数的性质可求得函数的最值.62解：（1）푓(푥)=√3sin푥⋅cos푥−sin2푥√31−cos2푥=sin2푥−22휋1=sin( 2푥− )−，62휋휋휋휋휋由2푘휋−≤2푥−≤2푘휋+得，푘휋−≤푥≤푘휋+，26263휋휋所以푓(푥)的单调递增区间为[ 푘휋− ， 푘휋+ ] ， 푘∈푍；63휋1（2）由（1）知푓( 푥 )=sin( 2푥− )−，62휋휋휋5휋因为0≤ 푥≤ ，则−≤ 2푥−≤ ，26661휋1有−≤sin( 2푥− )≤1，即−1≤푓( 푥 )≤.2621所以，푓( 푥 )的最大值为，푓( 푥 )的最小值为−1.23푥=푚+√2푡5、在平面直角坐标系푥푂푦中，直线l的参数方程为{（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正푦=√2푡4半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为휌2=，且直线经过点퐹(−√2,0).1+sin2휃（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值.푥2푦2答案：（1）+=1，푥−푦+√2=0；（2）4√6.42解析：（1）根据极坐标转化公式휌2=푥2+푦2,휌sin휃=푦，可将极坐标转化为直角坐标方程；将参数方程校区参数，代入点即可求出普通方程（2）根据椭圆和矩形的对称性，可以写出内接矩形的周长表达式，从而求出最大值4（1）因为曲线C的极坐标方程为휌2=，即휌2+휌2sin2휃=4，1+sin2휃2222222푥푦将휌=푥+푦,휌sin휃=푦代入上式得：푥+2푦=4，化简得+=1，42푥2푦2所以曲线C的直角坐标方程为+=1，42消去参数푡得：直线l的普通方程为푥−푦=푚，将퐹(−√2,0)代入直线方程得푚=−√2，所以直线l的普通方程为푥−푦+√2=