(每日一练)通用版2023高中数学三角恒等变换知识点梳理单选题1、已知焦点为퐹1,퐹2的双曲线上一点P满足∠푃퐹2퐹1=2∠푃퐹1퐹2,sin∠퐹1푃퐹2=2sin∠푃퐹1퐹2，则双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√2+1D．√3+1答案：D解析：设∠푃퐹1퐹2=훼，则∠푃퐹2퐹1=2훼，∠퐹1푃퐹2=휋−3훼，由sin∠퐹1푃퐹2=2sin∠푃퐹1퐹2，可得sin훼cos2훼+1휋휋cos훼sin2훼=2sin훼，化简可得sin훼=，可得훼=，∠퐹푃퐹=휋−3훼=，|푃퐹|=2푐cos훼=√3푐，|푃퐹|=26122122푐sin훼=푐，再利用双曲线的定义列方程可求得结果解：设∠푃퐹1퐹2=훼，则∠푃퐹2퐹1=2훼，∠퐹1푃퐹2=휋−3훼，由sin∠퐹1푃퐹2=2sin∠푃퐹1퐹2，即sin3훼=2sin훼，可得sin훼cos2훼+cos훼sin2훼=2sin훼，2233即有sin훼(1−2sin훼)+2sin훼cos훼=sin훼−2sin훼+2sin훼−2sin훼3=3sin훼−4sin훼=2sin훼，1解得sin훼=，2휋휋由0<훼<，可得훼=，26휋所以∠퐹푃퐹=휋−3훼=，1221则|푃퐹1|=2푐cos훼=√3푐，|푃퐹2|=2푐sin훼=푐，由双曲线的定义可得||푃퐹1|−|푃퐹2||=√3푐−푐=2푎，即有푐=(1+√3)푎，푐所以푒==√3+1．푎故选：D．휋2、若sin(+훼)=√2sin훼，则tan(휋−2훼)=（）2A．2√2B．−2√2C．4√2D．−4√2答案：B解析：结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可.휋√2由sin(+훼)=√2sin훼⇒cos훼=√2sin훼，得tan훼=，2222×√2则tan(휋−2훼)=−tan2훼=−2=−2√2．21−(√)2故选：B．π12π3、cos(−휃)=，则sin(−2휃)=（）12332277A．B．−C．−D．9999答案：C解析：π2πππ2π利用二倍角余弦公式求cos(−2휃)，再由−2휃=(−2휃)+求sin(−2휃)即可.63623π1π2π7由cos(−휃)=，得cos(−2휃)=2cos(−휃)−1=−，123612922ππππ7∴sin(−2휃)=sin[(−2휃)+]=cos(−2휃)=−，36269故选：C．解答题2휋4、已知cos훼=−√，훼∈(,휋).102휋（1）求sin(훼−)的值；4휋（2）求cos(2훼+)的值.64−243+7答案：（1）；（2）√550解析：（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出sin훼，再根据两角差的正弦公式计算可得；（2）首先由二倍角公式求出sin2훼，cos2훼，再根据两角和的余弦公式计算可得；√2휋227√2解：因为cos훼=−，훼∈(,휋)，又cos훼+sin훼=1，所以sin훼=10210휋휋휋722224（1）sin(훼−)=sin훼cos−cos훼sin=√×√−(−√)×√=44410210252722727（2）因为cos훼=−√，sin훼=√，所以sin2훼=2sin훼cos훼=2×(−√)×√=−，cos2훼=1−2sin2훼=101010102527√2241−2×()=−，1025휋휋휋24371−243+7所以cos(2훼+)=cos2훼cos−sin2훼sin=−×√−(−)×=√66625225250小提示：本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.5、设函数푓(푥)=sin푥+cos푥(푥∈R).휋2（1）求函数푦=[푓(푥+)]的最小正周期；23휋휋（2）求函数푦=푓(푥)푓(푥−)在[0,]上的最大值.422答案：（1）휋；（2）1+√.2解析：（1）由题意结合三角恒等变换可得푦=1−sin2푥，再由三角函数最小正周期公式即可得解；휋2（2）由三角恒等变换可得푦=sin(2푥−)+√，再由三角函数的图象与性质即可得解.42휋（1）由辅助角公式得푓(푥)=sin푥+cos푥=√2sin(푥+)，4휋3휋3휋3휋则푦=[푓(푥+)]2=[√2sin(푥+)]2=2sin2(푥+)=1−cos(2푥+)=1−sin2푥，24422휋所以该函数的最小正周期푇==휋;2휋휋휋