§4.定积分的计算一定积分计算的基本公式设函数fx在区间ab上连续，并且设x为ab上的一点，考察定积分xxafxdxaftdt如果上限x在区间ab上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在ab上定义了一个函数，记xaftdt.x积分上限函数定理１如果fx在ab上连续，则积分上限的函x数xaftdt在ab上具有导数，且它的导dx数是xdxaftdtfxaxbxxy证xxftdtaxxxxxxftdtftdtxaaoaxxxbxxxxxaftdtxftdtaftdtxxyftdtx由积分中值定理得xoaxxxbxfx在x与xx之间.flimlimfxx0xx0x0xxfx.补充如果ft连续，ax、bx可导，则bxFxaxftdt的导数Fx为fbxbxfaxaxdbxFxftdtdxax证:Fx0ax0bxftdtftdt0bxax0ftdtFxfbxbxfaxaxcosex1t2dt例1求lim2.x0x0分析：这是型不定式，应用洛必达法则.0d1t2dcosxt2解dxcosxedtdx1edtcos2xecos2xcosxsinxe1cosxet2cos2xdtsinxe1lim2lim.x0xx02x2e例2设fx在内连续，且fx0.x0tftdt在0内为单调增证明函数Fxx0ftdt加函数.dxdx证dx0tftdtxfxdx0ftdtfxxxxfx0ftdtfx0tftdtFx0xftdt2fx0xtftdtxFxx20ftdt0ftdt0xfx0x00xtftdt0xxtft0Fx0x0.故Fx在0内为单调增加函数.例3设fx在01上连续，且fx1.证明x2x0ftdt1在01上只有一个解.证令Fx2xftdt1x0fx1Fx2fx0Fx在01上为单调增加函数.F01011F110ftdt01ftdt0所以Fx0即原方程在01上只有一个解.基本公式如果Fx是连续函数fx在区间ab上的一个原函数，则bafxdxFbFa.证已知Fx是fx的一个原函数，x又xftdt也是fx的一个原函数aFxxCxab令xaFaaCaaaftdt0FaCFxaftdtCxaxftdtFxFaafxdxFbFa.b令xb牛顿—莱布尼茨公式FxabafxdxFbFab基本公式表明一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．b注意当ab时，fxdxFbFa仍成立.a例4求2cosxsinx1dx.20原式2sinxcosxx23.解022x0x12例5设fx求0fxdx.51x2212y解0fxdx0fxdx1fxdx在12上规定当x1时，fx5原式2xdx5dx6.1201o12x例6求22maxxx2dx.y解由图形可知yx2yxfxmaxxx2x2x022o12xx0x1x21x2原式xdxxdxx2dx021211201.211例7求2dx.x1解当x0时，的一个原函数是lnxx112xdxlnx1ln1ln2ln2.2例8计算曲线ysinx在0上与x轴所围成的平面图形的面积.y解面积Asinxdx0ocosx02.x二定积分的换元公式定理假设（1）fx在ab上连续；（2）函数xt在上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间上变化时，xt的值在ab上变化，且a、b，b则有afxdxfttdt.证设Fx是fx的一个原函数，afxdxFbFab令tFtdFdxtfxtfttdxdtt是ftt的一个原函数.fttdta、bFFFbFabfxdxFbFaafttdt.注意当时，换元公式仍成立应用换元公式时应注意:（1）用xt把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.（2）求出ftt的一个原函数t后，不必象计算不定积分那样再要把t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入t然后相减就行了.例9计算cosxsinxdx.520解令tcosxdtsinxdxxt0x0t120cos5xsinxdx26105t11tdt.606例10计算10xa2x2dx.a0a解令xasintdxacostdtxatx0t02acost原式2dt0asinta1sint22cost1costsintdt12dt20sintcostsintcost2011lnsintcost02.2224