1．(2012·沈阳调研)给出下列函数：①y＝eq\f(1,x3)；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝eq\r(3,x2).其中是幂函数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数中，只有y＝eq\f(1,x3)＝x－3和y＝eq\r(3,x2)＝xeq\f(2,3)符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．故选B.2．(2011·高考福建卷)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.由题意有Δ＝m2－4>0，解得m<－2或m>2，故选C.3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．解析：由题意，知eq\f(m,8)≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案：[25，＋∞)4．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0⇒a＝0或b＝－2.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(b<0,2a2＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(a＝±eq\r(2)，,b<0.))∴eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(a＝±eq\r(2)，,b＝－2，))∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋4一、选择题1．(2011·高考陕西卷)函数y＝xeq\s\up5(\f(1,3))的图像是()解析：选B.∵函数y＝xeq\s\up5(\f(1,3))是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1，1)，排除A，D.当x>1，x>xeq\s\up5(\f(1,3))，y＝xa在直线y＝x下方，排除C，选B.2．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的图像可能是()解析：选C.根据幂函数的性质，当幂指数a<0时，函数图像不过坐标原点且在(0，＋∞)上单调递减，选项A、B中的图像符合幂指数a<0，但此时一次函数y＝ax－eq\f(1,a)是单调递减的，选项A不符合要求，选项B中，一次函数图像的斜率和在y轴上的截距相矛盾；当a>0时，幂函数图像过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递增，选项C、D中的幂函数图像符合要求，但选项D中的一次函数y＝ax－eq\f(1,a)中a<0，所以只有选项C中的图像是可能的．3．已知幂函数f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,8)，eq\f(eq\r(2),4)))，P(x1，y1)、Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图像上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)<x2f(x2)；③eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2)；④eq\f(fx1,x1)<eq\f(fx2,x2).其中正确结论的序号是()A．①②B．①③C．②④D．②③解析：选D.依题意，设f(x)＝xα，则有eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,8)))α＝eq\f(eq\r(2),4)，即eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,8)))α＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1,8)))eq\s\up6(\f(1,2))，所以α＝eq\f(1,2)，于是f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)).由于函数f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x1<x2时，必有f(x1)<f(x2)，从而有x1f(x1)<x2f(x2)，故②正确；又因为eq\f(fx1,x1)，eq\f(fx2,x2)分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图像，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故eq\f(fx1,x1)>e