1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A.eq\f(10,3)B.eq\f(13,3)C.eq\f(16,3)D.eq\f(19,3)解析：选A.∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3)，故选A.2．(2011·高考重庆卷)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析：选A.∵点(1,2)在y＝－x3＋3x2上，y′＝－3x2＋6x，∴k＝－3×12＋6×1＝3，∴切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.3．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题知k＝f′(1)＝eq\f(1,2)，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案：34．(2012·吉安调研)若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋eq\f(1,x).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，故x＋eq\f(1,x)－a＝0，∴a＝x＋eq\f(1,x)≥2.答案：[2，＋∞)一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4解析：选B.求导运算正确的有②③，故选B.2．(2010·高考课标全国卷)曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A.易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝eq\f(x＋2－x,(x＋2)2)＝eq\f(2,(x＋2)2)，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,1)＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C.法一：令f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2(x－2)(x＋1),x)>0，解得－1<x<0或x>2，又x>0，故x∈(2，＋∞)．法二：由x>0，排除B，D.又f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)，取x＝2，得f′(2)＝0，排除A.4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A.由切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，得切线的斜率k＝4.设切点为(x0，xeq\o\al(4,0))，∵y′＝4x3，∴k＝4xeq\o\al(3,0)＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，∴切线方程为4x－y－3＝0.5．(2011·高考湖南卷)曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：选B.y′＝eq\f(cosx(sinx＋cosx)－(cosx－sinx)sinx,(sinx＋cosx)2)＝eq\f(1,(sinx＋cosx)2).故y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)＝\f(1,2)，))∴曲线在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为eq\f(1,2).二、填空题6．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)(x>0)，若曲线存在垂直于y轴的切线，即