第7讲平面向量的数量积及其应用自主梳理1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③a·a＝________________或|a|＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤|a·b|____|a||b|.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝________；(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________；(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|eq\o(AB,\s\up6(→))＝________________________，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝_____________________.探究点一向量的模及夹角问题例1(2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(16＋2×－6＋9)＝eq\r(13).变式迁移1(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．(1)C[∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，展开(a－c)·(b－c)＝0⇒|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝eq\r(2)cosθ，∴|c|的最大值是eq\r(2).](2)λ<eq\f(1,2)且λ≠－2解析∵〈a，b〉∈(0，eq\f(π,2))，∴a·b>0且a·b不同向．即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<eq\f(1,2).当a·b同向时，由a＝kb(k>0)得λ＝－2.探究点二两向量的平行与垂直问题例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的eq\r(3)倍(k>0)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)用k表示a·b；(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.解(1)由题意得，|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2＋2ka·b＋1，(eq\r(3)|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6ka·b.由条件知，k2＋2ka·b＋1＝3(1＋k2)－6ka·b，从而有，a·b＝eq\f(1＋k2,4k)(k>0)．(3)由(2)知a·b＝eq\f(1＋k2,4k)＝eq\f(1,4)(k＋eq\f(1,k))≥eq\f(1,2)，当k＝eq\f(1,k)时，等号成立，即k＝±1.∵k>0，∴k＝1.此时cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，而θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).故a·b的最小值为eq\f(1,2)，此时θ