一类矩阵微分方程的特解（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第23卷第1期2021年2月四川理工学院学报(自然科学版JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEditionVol23No1Feb2021文章编号:16731549(202101001004一类矩阵微分方程的特解吴幼明,何佩婷(佛山科学技术学院数学系,广东佛山528000摘要:基于微分方程组理论和矩阵理论,采用待定矩阵方法和按列比较方法,给出了非齐次项为二次多项式与指数函数乘积的一类三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式,对二种特殊情况进行了讨论,并通过算例验证了微分方程组特解公式的正确性。为高阶微分方程组的解法研究提供了一条有效的途径。关键词:常系数;微分方程组;待定矩阵法;特解中图分类号:O241.8文献标识码:A引言求常系数线性微分方程组的特解[16]是微分方程理论的重要内容之一,而对于高阶微分方程组的特解研究,目前研究结果还很少。根据线性非齐次微分方程组解的结构定理,线性非齐次微分方程组的通解等于对应的齐次方程组的通解加上非齐次微分方程组的一个特解。对于常系数线性微分方程组来说,当非齐次项为某些特殊形式时,可用待定矩阵法[36]求出非齐次方程组的一个特解。文献[7]给出了一类不含一阶导数项的三维二阶常系数微分方程组的通解公式,但其非齐次项仅为二次多项式的情形;文献[35]分别给出了文献[7]的微分方程组在非齐次项为二次多项式与指数函数相乘、三角函数与指数函数相乘和二次多项式与三角函数相乘的形式时的通解公式。文献[8]在文献[7]的基础上得到了一类含一阶导数项的三维二阶常系数微分方程组的通解公式,但其非齐次项亦仅为二次多项式的情形。本文在文献[38]的基础上,采用待定矩阵法,给出了文献[8]的微分方程组在非齐次项为二次多项式与指数函数相乘的形式时的通解公式,这是文献[3,8]的推广,亦是文献[6]的补充,因此更具有一般性。1符号给出矩阵微分方程a11a12a13a21a22a23a31a32a33f1f2f3-aa11a12a13a21a22a23a31a32a33f1f2f3-b11b12b13b21b22b23b31b32b33f1f2f3=t1(xt2(xt3(x(1其中fi=fi(x,i=1,2,3是关于x的函数,ti(x,i=1,2,3是关于x的二次多项式与指数函数的乘积,a,aij,bij(i,j=1,2,3是常数。记A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33,并假设A可逆,B=b11b12b13b21b22b23b31b32b33,C=A-1B=c11c12c13c21c22c23c31c32c33因此,式(1整理后为f1f2f3-af1f2f3-Cf1f2f3=A-1t1(xt2(xt3(x(22方程的通解2.1齐次方程的通解[8]方程(2对应的齐次方程为:f1f2f3-af1f2f3-Cf1f2f3=000(3则方程(3的通解为:f=[f1f2f3]T=V[exp(xC1+exp((aE3-xC2]其中,=diag(1,3,5,而1=12[a+a2+41],3=12a+a2+42,5=12a+a2+43,而1,2,3是矩阵C的三个特征根;V是矩阵C的列特征向量的矩阵;C1,C2是常数向量。2.2非齐次方程的特解对方程(2设t(x=t1(xt2(xt3(x=(l1x2+m1x+n1er1x(l2x2+m2x+n2er2x(l3x2+m3x+n3er3x(4其中li,mi,ni,ri(i=1,2,3是常数。根据待定矩阵法,可设方程(2的一个特解为:ft=(Gx2+Hx+Jer1xer2xer3x(5其中G=g11g12g13g21g22g23g31g32g33H=h11h12h13h21h22h23h31h32h33J=j11j12j13j21j22j23j31j32j33而gik,hik,jik(i,k=1,2,3是常数。将式(5代入方程(2,整理并比较x的同次幂系数和指数函数的系数,得到下列3个等式: