一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）南京理工大学硕士学位论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用姓名：张少钦申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：黄振友20210623堡主迨奎二耋堑堕丝坌簦至箜堂坌堡垄基型墼壁望堡塑查旦摘要０－ＩＬｏ本文主要讨论的是矩阵微分算子ｉ１ＩＪＩ的谱分解，其中￡是半直线上的极限点型的非负自伴Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．假定Ｌ只有连续谱的情况下，分别对Ｌ的谱下界大于零和等于零的两种情况作了讨论．本文将该矩阵算子酉等价于某平方可积函数空间上的乘法算子，具体构造了这个酉等价，利用这个表示方法研究了这类微分算子生成的酉算子群在出射入射空间的作用．关键词：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子；极限点型；谱表示；本性自伴．Ａｂｓｔｒａｃｔ硕士论文ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐ一髓ａｔｏｒ；０．－＇／，ｗ妇￡；ｓ龇一咖ｓｅ螂。酞ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ印一ｒ鼹ｈａｌｆ－ｌｉｎｅ，ｗｉｔｈＬｈａｖｉｎｇｏｎｌｙｃｏｎｔｉｎｕｅｉｎｔｗｏｃａｓｅｓ，ｏｎｅｓｐｅｃｔｒｕｍ．ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｅｌｅａｓｔｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆＬｉｓｚｅｒｏ，ｔｈｅｏｔｈｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｚｅｒｏ．ＷｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｂｅｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒＯｎｓｏⅡ玲ｓｑｕａｒｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｐａｃｅ．Ｂｙｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｉｎｔｈｅｉｎｃｏｍｉｎｇａｎｄｏｕｔｇｏｉｎｇｓｐａｃｅｓｉｎｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅｏｐｅｒａｔｏｒ；ｌｉｍｉｔ－ｐｏｉｎｔ；ｓｐｅｃｔｒａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｅｓｓｅｎｔｉａｌｓｅｌｆａｄｊｏｉｎｔｎｅｓｓ．Ⅱ声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。研究生签名：毯２级二。／。年乡月衫日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：２９／。年ｂ月眵日硕士论文一类矩阵微分算子的谱分解及其对散射理论的应用１引言Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．讨论这种类型的算子的动力大致来自如下两方面．本姓要讨黼是胁心：卜拣辄是半直线郴一．Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射在研究波动方程的过程当中，ＰＤ．Ｌａｘ与Ｒ．Ｓ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ发展了一套以他们名１．１字命名的散射理论【２９】，和其它散射理论［３４，３９】一样，Ｌａｘ．ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射理论的目的也是构造波算子、研究散射矩阵的解析性质等，其基础是他们发展起来的出射空间和入射空间的技巧．稍微具体地讲，Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ的方法是用以构建具有下面性质的物理系统的散射理论：１．彤是一个Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，【，（『），一∞＜ｔ＜＋００是澎中的单参数强连续酉算子群，这个物理系统的演化可以由这个算子群刻画．２．澎中存在两个子空间Ｄ＋，Ｄ－，分别称为出射和入射空间，它们满足下面的性质：（ａ）Ｕ（ｔ）Ｄ—ｃＤ一，ｔ≤ＯｒＵ（ＤＤ＋ｃＤ＋，ｔ≥Ｏ：（ｂ）ｎｆ《ｏＵ（ｔ）Ｄ一＝｛０ｌ－－Ｎｌ＞ｏＵ（ｔ）Ｄ＋；（ｃ）Ｕ腺Ｕ（力￡Ｉ＿＝乡纩＝Ｕ炬ＲＵ（ｔ）Ｄ＋．如果Ｄ＋和Ｄ一是正交的，那么Ｋ：＝澎Ｏ（Ｄ＋ｏＤ一）是算子群Ｕ（力的不变子空间，令ｚ（０＝ＰｘＵ（力Ｉｘ，这里Ｐｘ是从澎到子空间Ｋ的正交投影算子．可以证明【２７】，算子族｛ｚ（ｏＩｔ≥０）是Ｋ上的强连续压缩半群，将它称为Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群．假设半群Ｚ（ｆ）的生成元是算子曰，那么算子Ｂ的谱的性质和散射理论中的散射矩阵ｓ的解析性质有密切的联系，可以参看【７，２７，２９，４８，４９，５１］，以及这些文献中列出的其它资料．关于Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散