弹性力学第七章弹性力学讲义第七章由x轴向投影的平衡微分方程,由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，思考题斜面全应力p可表示为两种分量形式：取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。2.求设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:考虑方向余弦关系式,有2.求主应力上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得(c)3.应力主向由上两式解出。然后由式(b)得出4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力5.应力不变量(g)∴分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。6.关于一点应力状态的结论：(3)三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。区域内的基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。为0，即存在无数多的主应力。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。例题2试求图示弹性体中的应力分量，§7-4几何方程及物理方程为0，即存在无数多的主应力。(x,y,z)(d)(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。斜面全应力p可表示为两种分量形式：只要六个坐标面上的应力由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；六个坐标面上的应力分量完全确定一点增加了一些应力、形变和位移，应而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。(x,y,z)(d)假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上部应力、形变和位移分量都存在，且从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：—沿x,y,z向的刚体平移；若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为(d)空间问题的物理方程可表示为两种形式：⑵应力用应变表示，用于按应力求解方法：结论：空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。思考题对于空间轴对称问题：所有物理量仅为(ρ,z)的函数。而由几何方程：物理方程：应力用应变表示：边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。思考题第七章例题例题1（x,y,z)当面力为法向分布拉力q时，例题2试求图示弹性体中的应力分量，(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。q部应力、形变和位移分量都存在，且若形变分量为零，试导出对应的位移分量（7-17）。时，它的表面法线的方向余弦为(2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及空间轴对称问题这些不变量常用于塑性力学之中。(x,y,z)(e)2.在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。∵由形变求位移，要通过积分，会出现待注意:F（x,y,z)=0,⑵若形变确定，则位移不完全确定。解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括六个条件。六个坐标面上的应力分量完全确定一点2.则此点所有的正应力均为,切应力均即可解出例题３图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。7-4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。(一)本章学习的重点及要求弹性力学中的各种问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。方程和边界条件当然可以根据有关条件导出，但也可以从平面问题推广而来。(二）本章内容提要应力边界条件，3.柱坐标系（）中的空间轴对称问题（不具有对称性）感谢观看