PAGEPAGE22013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的运用随堂检测（含解析）新人教版1．已知a、b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)解析：选B.(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即|a|＝|b|，∴|a|2－2|a|2cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(1,2)，即a与b的夹角θ为eq\f(π,3).故选B.2．(2011·高考大纲全国卷)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，则|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析：选B.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，∴|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝5－2＝3.∴|a＋2b|＝eq\r(3).3．(2011·高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.eq\r(2)－1B．1C.eq\r(2)D．2解析：选B.由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a＋b－c|≤1.4．已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，求(m－3)2＋n2的最大值．解：(1)∵|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝(eq\r(2)cosθ－1)2＋(eq\r(2)sinθ－1)2＝－2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋4，∴－2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋4＝2.即sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),2).两边平方，得1＋sin2θ＝eq\f(1,2)，∴sin2θ＝－eq\f(1,2).(2)由已知，得(m，m)＋(n，－n)＝(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝\r(2)cosθ，,m－n＝\r(2)sinθ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(\r(2),2)cosθ＋sinθ，,n＝\f(\r(2),2)cosθ－sinθ.))∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝－3eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋10＝－6sin(θ＋eq\f(π,4))＋10.∴当sin(θ＋eq\f(π,4))＝－1时，(m－3)2＋n2取得最大值16.