自主招生考试中的递推数列问题（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）-1-自主招生考试中的递推数列问题——上海市徐汇区冯志刚名师工作室学员吴坚数列是中学数学的重要内容,是初等数学与高等数学的衔接部分,且与其他数学知识有着广泛的联系.在与数列有关的问题中,从数列的递推关系式出发寻找通项公式,往往是解决问题的突破口与关键点,递推数列是高考与自主招生考试关注的焦点.在近几年的“华约”、“北约”、“卓越联盟”以及复旦大学的千分考中,从递推公式推导通项公式,用递推公式研究数列性质等问题的考查频率相当高,往往可以占到数列考查内容的40%~50%.与高考不同的是,自主招生考试对递推数列的考查方式更加灵活,难度也更加高,有些问题往往需要用到不动点方程与特征方程的相关知识.知识储备与拓展】数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,表示递推关系的式子叫做递推公式,由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列.(一递推数列的常见类型及其通项公式的求法1.形如1(nnaafn+=+的递推关系式,其通项求法为1111111((nnnkkkkaaaaafk--+===+-=+∑∑,我们称这种方法为“累加法”.2.形如1(nnafna+=的递推关系式,其通项求法为3211121(1(2(3(1(2nnnaaaaaaffffnnaaa-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-≥,我们称这种方法为“迭乘法”.3.形如1(1nnapaqp+=+≠的递推关系式,其通项求法为方法一:由1nnapaq+=+及1nnapaq-=+,两式相减得11(nnnnaapaa+--=-,可知1{}nnaa+-是首项为21aa-,且公比为p的等比数列,先求出1nnaa+-,再求出na.方法二:两边同时加上1-pq,变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111pqappqann,-2-显然1nqap⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11-+pqa为首项,p为公比的等比数列.无论是方法一还是方法二,都是将1(1nnapaqp+=+≠转化为常见的等比数列来处理.4.形如(nfpaann+=+1的递推关系式,其中(fn不是常数,其通项求法为若1p=,显然111(,2nniaafin-==+≥∑;若1p≠,两边同时除以1np+,变形为(111++++=nnnnnpnfpapa.令nnnabp=,得11(nnnfnbbp++=+,利用“累加法”可以求得(∑-=++=1111niinnpifpapa,从而(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111niinnpifapa.5.形如1qnnapa+=(0,0npa>>的递推关系式,其通项求法为两边取对数有1lglglgnnaqap+=+,令lgnnba=,则1lgnnbqbp+=+,仿类型3可以求得nb,从而得到na的通项公式.(二递推数列通项公式的两种特殊求法1.特征方程法【定理1】若数列{}na满足:112221,,(nnnamamapaqapq++===+、是常数,*n∈N,则称数列{}na为二阶线性.对于递推数列21nnnapaqa++=+,定义方程2xpxq=+为数列{}na的特征方程,该方程的根称为特征根.(1若方程2xpxq=+有两相异根αβ、,则数列通项可以设成12nnnaccαβ=+,(其中12cc、是待定常数;(2若方程2xpxq=+有两相同根α,则数列通项可以写成12(nnacncα=+,(其中12cc、是待-3-再利用1122,,amam==可求得12,cc,进而求得na.2.不动点法不动点的概念是由荷兰数学家布劳威尔提出的,我们把满足方程(fxx=的x叫做函数(fx的不动点.【定理2】若((0,1fxaxbaa=+≠≠,p是(fx的不动点.若{}na满足递推关系1((2nnafan-=≥,则(1paapann-=--,即}{pan-是公比为a的等比数列.【定理3】若0,0((≠-≠++=bcadcdcxbaxxf,{}na满足递推关系1((2nnafan-=≥,且初始值11(afa≠.(1若(xf有两个相异的不动点pq、,则qapakqapannnn--⋅=----11(这里qcapcak--=;(2若(xf只有唯一不动点p,则kpapann+-=--111(这里dack+=2.【例1】(2007年复旦大学已知数列{}na满足134(1nnaan++=≥,且19a=,其前n项和为nS,则满足不等式1|6|125nSn--<的最小整数n为(.A.6B.7C.8D.9解析由于134nnaa+