第四节一、流函数的引入二维平面流动的流函数对于流体的平面流动，对于流体的平面流动，其流线的微分方程为dxu=dyv,将其改写成下列形式?vdx+udy=0在不可压缩流体的平面流动中，在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程?u?v?u?v+=0=??x?y?x?yψ（x，y）表示该函数?ψ?ψdψ=dx+dy=?vdx+udy?x?y成为某函数全微分的充分必要条件函数Ψ称为流场的流函数函数称为流场的流函数?ψ?ψu=，v=??y?xΨ=常数，可得流线微分方程式常数，?vdx+udy=0由此可见,常数的曲线即为流线，由此可见Ψ=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，常数的曲线即为流线若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标代入流函数Ψ便可得到一条过该点的确定的流线。（x0，y0）代入流函数，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。对于极坐标系，可写成vr对于极坐标系，1?ψ=r?θ?ψvθ=??rdψ=?vθdr+vrrdθ在已知速度分布的情况下，在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分得出一样，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方速度分布。反之，不论流场是否有旋，流动是否定常，程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数。还是黏性流体，必然存在流函数。等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。存在的。二、流函数的性质（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ永远满足连）对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ续性方程。续性方程。?2ψ?2ψ?y?x=?x?y（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯）对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。方程，流函数也是调和函数。对于平面无旋流动ωz=0?2ψ?2ψ+=?2ψ=022?x?y?v?u?=0?x?y不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。也是一个调和函数。在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，为求解一个满足边界条件的Ψ的拉普拉斯方程的拉普拉斯方程.为求解一个满足边界条件的的拉普拉斯方程（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积）平面流动中，流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。在两流线间任一曲线AB，在两流线间任一曲线，则通过单位厚度的体积流量为?ψ?ψqV=∫udy+∫v(?dx)=∫dy+∫dxyxy1x1y1?x1?y2x2y2x2=x2,y2∫dψ=ψ2?ψ1(x1,y1)平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。数之差。?三、和ψ的关系（1）满足柯西黎曼条件）满足柯西-黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，可得到速度势函数和流函数之间存在的如度势和流函数，下关系???ψ???ψ==?，?x?y?y?x???ψ???ψ+=0?x?x?y?y柯西-黎曼条件柯西黎曼条件φ和Ψ互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数和互为共轭调和函数互为共轭调和函数，这样一种有力的工具求解此类问题。这样一种有力的工具求解此类问题。当势函数φ和流函数二者知其一时当势函数和流函数Ψ二者知其一时，另一个则可利用式和流函数二者知其一时，ψ（4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。）的关系求出，而至多相差一任意常数。（2）流线与等势线正交）是等势线簇[?（x，y）=常数]和流线簇???ψ???ψ+=0?x?x?y?y[ψ（x，y）=常数]互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网。【例4-3】有一不可压流体平面流动的速度分布例为u=4x，v=?4y。①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4×105Pa，流体的密