专题一一、函数函数复习，使得对Xf1、（1）映射的概念：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则中每个元素x，按法则ff，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称其中y称为元素x(在映射ff为从X到Y的映射，记作f:X?Y,f(x)，即y?f(x)下)的像，并记作。元素x称为元素y(在映射下)的一个原像，集合X称为映射f的定义域，记为Df，即Df?X，X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f(X)，即Rf?f(X)?{f(x)|x?X}。（1）映射的理解①映射三要素：集合X,集合Y,对应法则②对于每个x?Xf，即定义域，值域，对应法则。，元素x的像y是唯一的；而对每个y?Rf，元素y的原像不f一定是唯一的；映射（3）设f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf?Y,不一定Rf?Y。是从集合X到集合Y的映射，Y中任一元素y都是X中某元素的像，若则称f为X到Y上的映射或满射；2、函数的概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y(2)函数的定义域、值域在函数yx?f(x),x?A中，?f(x),x?A叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；?f(x)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合?f(x)x?A?称为函数y的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4)同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。5、反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。（2）反函数的性质：①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。③互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。④设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。二、求函数解析式的方法（注意定义域优先原则）1、待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)?ax?bx?c；顶点2式：f(x)?a(x?m)?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已知条件的特点，2灵活地选用二次函数的表达形式）。例1、已知函数f(x)是二次函数，若f(0)?0且f(x?1)?f(x)?x?1，试求f(x)的表达式。解：由f(0)?0知f(x)在y轴截距为0，设其解析式为y?ax?bx(a?0)，2f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?ax?(2a?b)x?a?b?ax?(b?1)x?1222，1?a???2a?b?b?1?1212?????f(x)?x?x。22?a?b?1?b?1?2?2、凑配法?已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。例2、已知f(x?2)?3x?5，求f(x)。f(x?2)?3x?5?3(x?2)?1，以x代x?2得f(x)?3x?1。3、换元法?若原函数直接求解困难或者比较繁琐，可采用换元替代的方法求解。例3、已知f(1?cosx)?sinx,求f(x)。222解：t?1?cosx则cosx?1?t,t?[0,2]，f(t)?1?cosx?1?(1?t)?2t?t，令再以x2代t，即得f(x)??x?2x，x?[0,2]。24、赋值法（方程的思想）?已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。5、利用奇偶性?适用于有明显奇偶性的函数例5、f(x)为定义在R上的奇函数，并且当x?0时，f(x)?x?2x?3，求f(x)。2解：当x?0时，?x?0，?f(?x)?(?x)