北京新航标教育株洲分校数列通项公式的求法一、关于递推公式为的通项求法解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。已知数列中,,其中……，求数列的通项公式。例已知数列满足，，求。二、关于递推公式为的通项的求法解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)则{an}的通项例已知数列满足，，求。三、待定系数法（构造法）求一些特殊类型的数列求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。形如a=pa+q通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。例数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。例已知数列满足，且，求．点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．递推式为求通项递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．例已知数列满足，，求．3、型的递推式通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；例数列满足=0，求数列{a}的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。例数列中，，求数列的通项公式。例已知数列满足,,求．点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．4、（其中p、q、r、h均为常数，），例数列求数列的通项公式.例已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法)例：形如an=pan-1+An+B递推式：(f(n)是关于n的一次或二次函数)解法：只需构造数列，消去带来的差异．例．设数列：，求解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.四、特征根法1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.例已知数列满足：求2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例：已知数列满足，求数列的通项公式。3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。五、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例：设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.例：数列中前n项的和，求数列的通项公式.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例26：设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.例27：数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.