利用矩阵变换赏析Fibonacci数列（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）利用矩阵变换赏析Fibonacci数列何继刚(江苏省扬州大学附属中学225002)十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci1170—1250）在一本题为《算盘书》中提出这样一个数列人们将其称为Fibonacci数列.1634年数学家奇拉特发现:Fibonacci数列有如下递推关系:在此基础上数学家们又发现了更一般的性质①:1680年,卡西尼发现了下面的重要关系式，性质②:苏教版4—2《矩阵与变换》介绍了矩阵和变换的知识与方法，下面我们用矩阵变换的思想来赏析Fibonacci数列通项公式的推导和性质①②的证明.1Fibonacci数列通项公式的推导问题已知数列满足求数列的通项公式解：首先证明：若，则恰为Fibonacci数列的通项.事实上，当时，，有，当时，，，结论成立.假设当时，结论成立，即若有，则为Fibonacci数列的第项.当时，有综上所述，对结论成立.下面用特征值、特征向量和平面向量基本定理求通项公式的特征多项式为令得，对应于的特征向量分别为，设2Fibonacci数列的性质我们首先考察性质②：我们可用数学归纳法直接证明该关系式.而更为巧妙的证明方法，可借助于如下矩阵恒等式：（*）证明：（1）时，用矩阵乘法规则：（2）设时，结论成立，即当时，由（1）（2）可知，对时，命题成立.对（*）两边取行列式，再展开化简即可得利用（*）我们可以证明Fibonacci数列的性质①：事实上，比较等式左右两边矩阵中左上角第一个元素即得3Fibonacci数列的变化趋势下面从矩阵变换的几何意义考察矩阵，由于，可以看作矩阵确定的变换，对点按如下顺序进行变换：由Fibonacci数列通项公式和变换的几何意义可知，点无限靠近直线参考文献1吴振奎.斐波那契数列(世界数学名题欣赏).沈阳.辽宁教育出版社,1987.22叶运佳.斐数列浅探.数学通报，2004.33张慧欣.也谈斐波那契数列.数学通报，2006.10通讯地址江苏省扬州市淮海路180号（扬州大学附属中学）邮政编码225002E—mailhjg5808350@yahoo习题4-1利用初等变换求下列矩阵的秩；.2．取怎样的数值时，线性方程组有解，并求它的一般解.3．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出它的一般解.证明：含有2个未知量3个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式.这个条件是充分的吗？请分析.5.设、都为矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变换得到（这时我们称与等价）.6.设是一个阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形的充分且必要条件是.7．若，，.证明：秩秩+秩.8．证明，线性方程组有解的充分必要条件是.这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？9．证明：若与同时有解，则.10．解齐次线性方程组(1)（2)11．分别求使以下齐次线性方程组有非零解.(1)(2)12．设(1)证明：若(1)有解，则又，逆命题是否成立？习题4-2求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)(2)2.证明：如果齐次线性方程组的系数矩阵为，是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明：(1)是方程组的一个解；(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数.3.给出平面上个点共线的充分必要条件.4.给出平面上条直线共点的充分必要条件.5.写出通过三点（1，2），（1，-2），（0，-1）的圆方程.6.给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周上的充分必要条件.7.证明：的任意一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间.8.证明：的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交.9.求以下非齐次线性方程组的通解(1)(2)(3)10.设是非齐次线性方程组的任意个解，，证明：当且仅当时，也是这个非齐次线性方程组的解.11.设是非齐次线性方程组的一个解，是它的导出组的基础解系.证明：(1)线性无关；(2)也线性无关；(3)如果是这个非齐次线性方程组的任意解，则线性无关；(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数,，使得.7．3线性变换和矩阵教学目的：熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变换。由向量关于给定基的坐标，求出关于这个基的坐标。已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出