矩阵秩的一些著名结论（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A.一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1.证明:设为两个同阶矩阵,则有r(A﹢B≤r(A﹢r(B证设=,,…,,=则+=+,+,…,+不妨设列向量的极大线性无关组为,,…,.(1rn；列向量的极大线性无关组为，，….(1sn.则++…+;=++…+;则+=++…++++…+;即+的列向量可由,,…,，，，…线性表出，故.2.若=,则.证记，由=，知的每一列都是解,即,=1,2,…,又因的基础解系所含向量个数为,换言之,的所有解所构成的向量组的秩为.故,即.3.若，证明+=n.证,,=,由结论2知r+r;再由结论1知，+,综上所述,+=n.4若证明：+.证,由结论2知+.又因知，即+.综上所述，+.5.矩阵,,证明：+-.证设=,=,=则存在可逆矩阵,使=.及=.故===.则===.因==则中还有个线性无关行向量,故则,即+-.6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为：=证若=时,即可逆,因，则有,故.若时,,=,由结论2知+，即=1.也就是=0,或=.假设=0,则的所有阶子式为0,这与=矛盾.故=.若当<时，则的所有阶子式全为0，则,即=0.故上述结论=成立。7.（秩的降阶定理）设,⑴若是阶可逆矩阵，则.⑵若是阶可逆矩阵，则⑶若都可逆，则.证⑴若是阶可逆矩阵，则存在.对矩阵两边做初等变换,即有.初等变换不改变矩阵的秩,故.⑵若可逆,则存在,对两边做初等变换,.初等变换不改变矩阵的秩,故.⑶若都可逆,则根据⑴,⑵的结论有:，整理可得，.参考文献【1】张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.【2】王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.【3】徐仲,陆全等.高等代数(北大.第三版导教导学导考.西安:西安工业大学出版社,2006.求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)将矩阵中某两行对换位置；(2)将某一行遍乘一个非零常数k；(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.矩阵A经过初等行变换后变为B，用ABij表示，并称矩阵B与A是等价的.iji（下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“，”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“+k”.①，②例如，矩阵A=③k②+①k（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵(A,I)，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即(A,I)(I,)例1设矩阵A=求逆矩阵.解因为②+①(-1)=3\*GB3③+①(-2)[A,I]=①+=3\*GB3③(-1)②+=3\*GB3③(-1)=1\*GB3①+=2\*GB3②②(1/2)=3\*GB3③+=2\*GB3②所以=所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[A,I]进行初等行变换的过程中，如果[A,I]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而